Eulero ed i solidi

In un precedente articolo si parlava  del teorema di Eulero applicato alla determinazione di una formula per il calcolo dei confini che si formano quando le regioni si incrociano formando dei nodi. E’ stato un primo tentativo per far comprendere agli alunni la funzione e il valore che le formule hanno in un contesto matematico. Naturalmente tutto ha avuto inizio da una situazione concreta, poi si è posto in modo guidato un problema e insieme abbiamo cercato di risolverlo nella maniera ottimale. Di fronte a una immagine con tante regioni e diversi nodi è difficile contare tutti i segmenti di confine che si creano e dunque ci viene in soccorso una  formula che ci permette di velocizzare la nostra ricerca e di avere la consapevolezza di aver calcolato correttamente.

Oggi abbiamo applicato la stessa formula ai solidi geometrici.

I confini delimitano anche quelle  porzioni di spazio che si trovano nelle superfici, in questo caso si individuano gli spigoli che sono i confini delle superfici e i vertici che sono i  confini degli spigoli.

Con materiale occasionale e strutturato abbiamo osservato  le più note figure geometriche solide: in classe abbiamo una serie di solidi ricavate da scatole, confezioni di vario genere che sono servite per individuare la lunghezza, l’altezza e la larghezza, la giusta nomenclatura del solido e infine la determinazione delle facce, dei vertici e degli spigoli.

Con questi oggetti di uso comune abbiamo effettuato una distinzione tra solidi con facce piatte che rappresentano poligoni e che si chiamano anche poliedri e solidi con facce curve che non sono poliedri.

Una scheda riassuntiva è servita per esercitare gli alunni a riconoscere in un solido (sia con facce piatte che curve) il numero delle facce, il tipo di poligono rappresentato dalle facce, il numero di vertici e il numero degli spigoli, naturalmente alcune caselle sono rimaste vuote per quei solidi con facce curve.

Il problema si è posto quando nel determinare il numero degli spigoli e dei vertici ho notato un certo margine di errore, specialmente su solidi come il parallelepipedo, il prisma pentagonale ed esagonale ma anche per la piramide; infatti gli alunni si sono resi conto che c’era un grosso numero di spigoli rispetto ai vertici e alle facce.

A questo punto ho proposto di applicare la formula di Eulero (Facce + Vertici ) – 2= Spigoli.

Questa formula permette di capire che c’è una relazione costante tra il numero delle facce, degli spigoli e dei vertici di un poliedro. Questa costante è data dal fatto che il numero delle facce sommate al numero dei vertici supera sempre di due unità il numero degli spigoli.

In questo caso la formula si può scrivere anche così (Facce + Vertici ) = Spigoli +2 . Una tabella ha raccolto tutte le osservazioni effettuate e in modo sistematico abbiamo applicato e verificato la correttezza della formula su tutti i solidi che avevamo a disposizione.

Questa esercitazione è servita a far osservare con attenzione i solidi in generale e i poliedri in particolare, a considerare la superficie dei solidi come composti dalle forme piane che sono state esaminate lo scorso anno, che i confini di un solido sono gli spigoli, che i solidi sono oggetti a tre dimensioni  che occupano uno spazio preciso e che dove c’è un corpo non ci può esserne un altro. Ho affidato agli alunni un puzzle speciale, con un incarico speciale, su una scheda sono disegnate figure con gruppi di pezzi scomposti, gli alunni cercheranno di assemblare i pezzi  per formare sia una figura con superfici curve sia una figura con superfici spezzate.

Si tratta di un lavoro di discriminazione dello spazio occupato da una figura scomposta per ricomporla formandone un’altra completa e dalla struttura ben definita, serve a stimolare l’osservazione, la manualità fine, la capacità di perseverare nell’impegno. Questo tipo di esercitazione non è nuovo per gli alunni, negli anni scorsi si sono esercitati a comporre figure con il tangram attraverso giochi manuali ma anche on-line.

Questa volta l’esercitazione è solo manuale, percettiva e discriminatoria.

Lasciate lavorare tranquillamente i vostri figli! Sono molto abili.